Question

已知曲線C：f(x)＝x²，C上點(diǎn)A、A_n的橫坐標(biāo)分別為1和a_n(n∈N*)，且a₁＝5，．記區(qū)間D_n＝[1，a_n](a_n＞1)．當(dāng)x∈D_n時(shí)，曲線C上存在點(diǎn)P_n(x_n，f(x_n))，使得點(diǎn)P_n處的切線與直線AA_n平行．

(Ⅰ)試證明：數(shù)列{log_a(x_n－1)＋1}是等比數(shù)列；

(Ⅱ)當(dāng)對(duì)一切恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(Ⅲ)記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)a＝時(shí)，試比較S_n與n＋7的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由點(diǎn)的切線與直線平行條件可知，，　　　　2分 　　由可知：， 　　則，設(shè)，則， 　　又，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即是等比數(shù)列．　　　　2分 　　則， 　　即，則; 　　(Ⅱ)由條件可知：，　　3分 　　由知，即，則， 　　即．　　　　2分; 　　(Ⅲ)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，當(dāng)時(shí)，＝1＋8