Question

【題目】已知函數(shù)在處的切線方程為.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若關(guān)于的方程f（x）＝kex（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意，，得到關(guān)于a，b的不等式組，求得a，b的值，則函數(shù)解析式可求；

（2）方程f（x）＝kex，即x2﹣x+1＝kex，得k＝（x2﹣x+1）e﹣x，記F（x）＝（x2﹣x+1）e﹣x，利用導(dǎo)數(shù)求其極值，可知當(dāng)k或k時(shí)，它們有兩個(gè)不同交點(diǎn)，因此方程f（x）＝kex恰有兩個(gè)不同的實(shí)根；

（1）f（x）＝ax2+bx+1，，

依題設(shè)，有，即，

解得，∴.

（2）方程f（x）＝kex，即x2﹣x+1＝kex，，可化為，

記，則，

令，得，

當(dāng)變化時(shí)，、的變化情況如下表：

	-		+		-
	↘	極小	↗	極大	↘

所以當(dāng)時(shí)，取極小值；當(dāng)時(shí)，取極大值，

又時(shí)，，且；

時(shí)，，

可知當(dāng)k或k時(shí)，它們有兩個(gè)不同交點(diǎn)，因此方程f（x）＝kex恰有兩個(gè)不同的實(shí)根；