Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，.

（1）求a的范圍；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）分類討論參數(shù)的范圍，利用導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得出的范圍；

（2）不妨設(shè)，由（1）可知，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，得出等價(jià)于，即，構(gòu)造函數(shù)，，求出，即可得出結(jié)論.

（1）

當(dāng)時(shí)，；

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，且當(dāng)x→﹣∞時(shí)，f（x）→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，

則函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，

當(dāng)時(shí)，或；

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

結(jié)合可知，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，或；

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

結(jié)合，可知，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝xex只有一個(gè)零點(diǎn)x＝0，不合題意；

綜上，.

（2）不妨設(shè)，由（1）可知，

在上單調(diào)遞減

等價(jià)于，即

由于，而

則

設(shè)，，則

則函數(shù)在上單調(diào)遞減，

即，從而