Question

已知長方體ADCD-A₁B₁C₁D₁，設(shè)動(dòng)點(diǎn)F從B點(diǎn)出發(fā)，沿BD₁運(yùn)動(dòng)，G為F在底面ABCD的投影，AB=BC=2，AA₁=1，BF=x，
（1）求sin∠FBG，
（2）用x表示三棱錐G-ADF的體積V（x），當(dāng)F在什么位置時(shí)，三棱錐G-ADF的體積V（x）最大，并求出最大體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)特征，判斷△BDD₁為直角三角形，求出對角線BD₁的長，可求sin∠FBG；
（2）過G作GH⊥AD，交AD于H，利用三角形的相似求出GH，再在△BFG中求FG，利用三棱錐的換底性求出體積關(guān)于x的函數(shù)，利用函數(shù)求最值的方法求解．

解答：解：（1）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中BD1=

22+22+12

=3，sin∠FBG=

DD1

BD1

=

1

3

，
（2）過G作GH⊥AD，交AD于H，則GH∥AB，又FG⊥平面ABCD，∴FG∥DD₁，
∴

GH

AB

=

DG

DB

=

D1F

D1B

=

3-x

3

，∴GH=

2(3-x)

3

，
Rt△BFG中，FG=FB•sin∠FBG=x

DD1

BD1

=

x

3

，
S_△AGD=

1

2

×AD×GH=

2(3-x)

3

，（0＜x＜3）
V_G-ADF=V_F-ADG=

1

3

×

2(3-x)

3

×

x

3

=

6x-2x2

27

=

2

27

[-(x-

3

2

)2+

9

4

]，（0＜x＜3），
當(dāng)x=

3

2

時(shí)，三棱錐G-ADF的體積V（x）體積最大，最大體積為

1

6

，

點(diǎn)評：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，棱錐的體積計(jì)算，考查了學(xué)生的空間想象能力，運(yùn)算能力，利用三棱錐的換底性求出體積的函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵．