Question

 

設(shè)函數(shù)定義在上，，導(dǎo)函數(shù)，．

（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；

（2）討論與的大小關(guān)系；

（3）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

 【分析】（1）先求出原函數(shù)，再求得，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間），并求出最小值；（2）作差法比較，構(gòu)造一個新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由單調(diào)性判斷函數(shù)的正負；（3）存在性問題通常采用假設(shè)存在，然后進行求解；注意利用前兩問的結(jié)論．

【解】（1）∵，∴（為常數(shù)），又∵，所以，即，

∴；，

∴，令，即，解得，

當(dāng)時，，是減函數(shù)，故區(qū)間在是函數(shù)的減區(qū)間；

當(dāng)時，，是增函數(shù)，故區(qū)間在是函數(shù)的增區(qū)間；

所以是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，

所以的最小值是．

（2），設(shè)，

則，

當(dāng)時，，即，

當(dāng)時，，，

因此函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，

當(dāng)時，=0，∴；

當(dāng)時，=0，∴．

（3）滿足條件的不存在．證明如下：

證法一  假設(shè)存在，使對任意成立，

即對任意有              ①

但對上述的，取時，有，這與①左邊的不等式矛盾，

因此不存在，使對任意成立．

證法二  假設(shè)存在，使對任意成立，

由（1）知，的最小值是，

又，而時，的值域為，

∴當(dāng)時，的值域為，

從而可以取一個值，使，即,

∴，這與假設(shè)矛盾．

∴不存在，使對任意成立．