Question

20．在△ABC中，內角A，B，C的所對邊分別為a，b，c．已知a²+b²+5abcosC=0，sin²C=$\frac{7}{2}$sinAsinB．
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）若a=1，求△ABC面積的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意及余弦定理化簡可得7（a²+b²）=5c²，利用正弦定理化簡已知可得${c^2}=\frac{7}{2}ab$，根據余弦定理可求cosC，結合范圍C∈（0，π），即可求得C的值．
（Ⅱ）a=1，由$\left\{\begin{array}{l}{c^2}=\frac{7}{2}b\\ 5{c^2}=7+7{b^2}\end{array}\right.$，解得b的值，利用三角形面積公式即可得解．

解答 （本題滿分為15分）
解：（Ⅰ）由題意及余弦定理得，${a^2}+{b^2}+5ab\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=0$，
即7（a²+b²）=5c²．…（2分）
由題意及正弦定理得，${c^2}=\frac{7}{2}ab$．…（4分）
故$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{-\frac{2}{7}{c^2}}}{2ab}=-\frac{1}{2}$．…（6分）
因為C∈（0，π），所以$∠C=\frac{2π}{3}$．…（7分）
（Ⅱ）因為a=1，由（Ⅰ）知，$\left\{\begin{array}{l}{c^2}=\frac{7}{2}b\\ 5{c^2}=7+7{b^2}\end{array}\right.$，解得b=1或b=2．…（10分）
①當b=1時，${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$；…（12分）
②當b=2時，${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（14分）
綜上，△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（15分）

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想和分類討論思想，屬于基礎題．