Question

7．已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S₆=9S₃．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=1+log₂a_n，求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，運用等比數列的求和公式，求得q=2，再由等比數列的通項公式即可得到；
（Ⅱ）運用對數的性質化簡b_n=n，再由等差數列的求和公式，計算即可得到．

解答 解：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，
a₁=1，S₆=9S₃，知q≠1，
故有$\frac{1-{q}^{6}}{1-q}$=$\frac{9（1-{q}^{3}）}{1-q}$，
即（1-q³）（1+q³）=9（1-q³），
即有1+q³=9，即q³=8，解得q=2，
則a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（Ⅱ）b_n=1+log₂a_n=1+log₂2^n-1=1+n-1=n，
則數列{b_n}的前n項和為1+2+…+n=$\frac{1}{2}$n（1+n）．

點評 本題考查等比數列的通項和求和公式的運用，同時考查對數的運算和等差數列的求和公式，屬于基礎題．