Question

2．如圖所示的“8”字形曲線是由兩個關于x軸對稱的半圓和一個雙曲線的一部分組成的圖形，其中上半個圓所在圓方程是x²+y²-4y-4=0，雙曲線的左、右頂點A、B是該圓與x軸的交點，雙曲線與半圓相交于與x軸平行的直徑的兩端點．
（1）試求雙曲線的標準方程；
（2）記雙曲線的左、右焦點為F₁、F₂，試在“8”字形曲線上求點P，使得∠F₁PF₂是直角．
（3）過點A作直線l分別交“8”字形曲線中上、下兩個半圓于點M、N，求|MN|的最大長度．

Answer 1

分析 （1）求出半圓的圓心和半徑，求得圓與x軸的交點，即有a=2，令y=2，解得交點，代入雙曲線方程，解得b，進而得到雙曲線的方程；
（2）求出焦點坐標，∠F₁PF₂是直角，則設P（x，y），則有x²+y²=8，聯(lián)立兩半圓的方程及雙曲線方程，解得交點，注意檢驗，即可得到所求的P的坐標．
（3）分類討論，求出|MN|，即可得出結論．

解答 解：（1）上半個圓所在圓方程是x²+y²-4y-4=0，則圓心為（0，2），半徑為2$\sqrt{2}$．
則下半個圓所在圓的圓心為（0，-2），半徑為2$\sqrt{2}$．
雙曲線的左、右頂點A、B是該圓與x軸的交點，即為（-2，0），（2，0），即a=2，
由于雙曲線與半圓相交于與x軸平行的直徑的兩端點，則令y=2，解得，x=±2$\sqrt{2}$．
即有交點為（±2$\sqrt{2}$，2）．
設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
則$\frac{8}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{^{2}}$=1，且a=2，解得，b=2．
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）雙曲線的左、右焦點為F₁（-2$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（2$\sqrt{2}$，0），
若∠F₁PF₂是直角，則設P（x，y），則有x²+y²=8，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=8}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=4}\end{array}\right.$解得，x²=6，y²=2．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=8}\\{{x}^{2}+（y±2）^{2}=8}\end{array}\right.$解得，y=±1，不滿足題意，舍去．
故在“8”字形曲線上所求點P的坐標為（$±\sqrt{6}，\sqrt{2}$），（$±\sqrt{6}，-\sqrt{2}$）．
（3）設M，N的橫坐標分別為x_M，x_N．
①直線l的斜率不存在時，|MN|=8；
②直線l的斜率存在時，設方程為y=k（x+2），
代入x²+y²-4y-4=0，可得（k²+1）x²+（4k²-4k）x+4k²-8k-4=0，
∴-2x_M=$\frac{4{k}^{2}-8k-4}{{k}^{2}+1}$，
∴x_M=$\frac{-2{k}^{2}+4k+2}{{k}^{2}+1}$，
同理x_N=$\frac{-2{k}^{2}-4k+2}{{k}^{2}+1}$，
∴|MN|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$|x_M-x_N|=$\frac{|8k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜8，
∴|MN|的最大長度為8．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，考查圓與圓、雙曲線的位置關系，考查運算能力，屬于中檔題．