Question

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)Mf（x）定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）．某造船廠每年最多造船20艘，造船x臺(tái)（x∈N^*）的產(chǎn)值函數(shù)R（x）=3700x+45x²-10x³（單位：萬(wàn)元），其成本函數(shù)C（x）=460x+500（單位：萬(wàn)元），利潤(rùn)是產(chǎn)值與成本之差．
（1）求利潤(rùn)函數(shù)P（x）及邊際利潤(rùn)函數(shù)MP（x）；
（2）該造船廠每年造船多少艘，可使年利潤(rùn)最大？
（3）有人認(rèn)為“當(dāng)利潤(rùn)P（x）最大時(shí)，邊際利潤(rùn)MP（x）也最大”，這種說(shuō)法對(duì)不對(duì)？說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）P（x）=R（x）-C（x），MP（x）=P（x+1）-P（x），由此能求出利潤(rùn)函數(shù)P（x）及邊際利潤(rùn)函數(shù)MP（x）．
（2）P′（x）=-30x²+90x+3240，由此能求出造船廠每年造船12艘，可使年利潤(rùn)最大．
（3）邊際利潤(rùn)函數(shù)MP（x）=-30（x-1）²+3305，當(dāng)x=1時(shí)，邊際利潤(rùn)MP（x）最大．所以“當(dāng)利潤(rùn)P（x）最大時(shí)，邊際利潤(rùn)MP（x）也最大”，這種說(shuō)法不正確．

解答： 解：（1）由題意：P（x）=R（x）-C（x）
=-10x³+45x²+3240x-500，x≤20，x∈N^*．…（2分）
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-30x²+60x+3275，x≤20，x∈N^*．…（4分）
（缺少自變量范圍，酌情扣分）
（2）P′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x+9）（x-12），…（6分）
當(dāng)1≤x≤12時(shí)，P′（x）＞0，P（x）遞增；
當(dāng)12＜x≤20時(shí)，P′（x）＜0，P（x）遞減．…（9分）
∴當(dāng)x=12時(shí)，利潤(rùn)P（x）最大．
即造船廠每年造船12艘，可使年利潤(rùn)最大．…（11分）
（3）邊際利潤(rùn)函數(shù)MP（x）=-30x²+60x+3275=-30（x-1）²+3305，
∴MP（x）在[1，20]為減函數(shù)．…（14分）
∴當(dāng)x=1時(shí)，邊際利潤(rùn)MP（x）最大．…（15分）
∴“當(dāng)利潤(rùn)P（x）最大時(shí)，邊際利潤(rùn)MP（x）也最大”，這種說(shuō)法不正確．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利潤(rùn)函數(shù)和邊際利潤(rùn)函數(shù)的求法，考查造船廠每年造多小船可使年利潤(rùn)最大的求法，考查“當(dāng)利潤(rùn)P（x）最大時(shí)，邊際利潤(rùn)MP（x）也最大”這種說(shuō)法是否正確的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．