Question

19．如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，∠DAB=60°，AA₁⊥面ABCD，且AD=AA₁=1，F為棱AA₁的中點，M為線段BD₁的中點．
（1）求證：FM⊥平面BDD₁B₁；
（2）求三棱錐D₁-BDF的體積．

Answer 1

分析 （1）通過底面是菱形，證明AC⊥面BDD₁B₁，然后證明MF⊥面BDD₁B₁．
（2）利用轉換底面，即可求三棱錐D₁-BDF的體積．

解答 （1）證明：∵底面是菱形，
∴AC⊥BD
又∵B₁B⊥面ABCD，AC?面ABCD
∴AC⊥B₁B，BD∩B₁B=B，
∴AC⊥面BDD₁B₁
又∵MF∥AC，
∴MF⊥面BDD₁B₁．
（2）解：由題意，B到平面AD₁的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
三棱錐D₁-BDF的體積=三棱錐B-D₁DF的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

點評 本題考查空間想象能力，直線與平面平行的證明方法，判定定理的應用，考查求三棱錐D₁-BDF的體積．