Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，若點E，F(xiàn)分別是PC，BD的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：平面PAD⊥平面PCD．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用三角形中位線的性質(zhì)，可得線線平行，證明EFGH為平行四邊形，可得EF∥GH，進而可得線面平行；
（2）先證明線面垂直，再證明面面垂直即可．

解答： 證明：（1）設(shè)PD中點為H，AD中點為G，連結(jié)FG，GH，HE，
∵G為AD中點，F(xiàn)為BD中點，
∴GF∥AB且EF=

1

2

AB，
同理EH∥CD且EF=

1

2

CD，
∵ABCD為矩形，∴AB∥CD，AB=CD，
∴GF∥EH，GF=EH，
∴EFGH為平行四邊形，∴EF∥GH，
又∵GH?面PAD，EF?面PAD，∴EF∥面PAD．
（2）∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，
又∵ABCD為矩形，∴CD⊥AD，
∴CD⊥面PAD
又∵CD?面PCD，∴面PAD⊥面PCD．

點評：本題考查線面平行、面面垂直，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．