Question

如圖5, 已知拋物線，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，，與交于點(diǎn).

(1)  求點(diǎn)的軌跡方程；

(2)  求四邊形的面積的最小值.

 

                                                          圖5

Answer 1

解法一:

（1）解：設(shè)，

     ∵，

     ∴是線段的中點(diǎn).                         

     ∴，①           

       .                      ②          

     ∵，  ∴.

     ∴.                           

     依題意知，

     ∴.                        ③           

把②、③代入①得：，即.      

∴點(diǎn)的軌跡方程為.                     

 (2)解：依題意得四邊形是矩形，

   ∴四邊形的面積為

   

 

 

  .                                     

∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

∴.                                      

∴四邊形的面積的最小值為.                        

解法二:

(1)解:依題意,知直線的斜率存在,設(shè)直線的斜率為,

      由于,則直線的斜率為.        

      故直線的方程為,直線的方程為.

      由  消去,得.

      解得或.                     

      ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.            

      同理得點(diǎn)的坐標(biāo)為.              

      ∵，

      ∴是線段的中點(diǎn).                

      設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,

      則                    

      消去,得.                

∴點(diǎn)的軌跡方程為.        

(2)解：依題意得四邊形是矩形，

   ∴四邊形的面積為

         

                                        

                                      

  .                                               

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.              

∴四邊形的面積的最小值為.                        …