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已知直線經(jīng)過橢圓C：的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓C的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS，BS與直線：分別交于M，N兩點(diǎn)，如圖所示。
（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段MN的長(zhǎng)度的最小值；
（3）當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度的最小時(shí)，在橢圓C上是否存在這樣的點(diǎn)T，使得△TSB的面積為？若存在，確定點(diǎn)T的個(gè)數(shù)，若不存在，請(qǐng)說明理由。
解：（1）由題意，得橢圓方程為。
（2）設(shè)直線AS的方程為，
從而可知M點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由，得，
所以可得BS的方程為，
從而可知N點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故當(dāng)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度取最小值。
（3）由（2）知，當(dāng)|MN|取最小值時(shí)，，
此時(shí)直線BS的方程為，，
∴|BS|=，
要使橢圓C上存在點(diǎn)T，使得△TSB的面積等于，只需T到直線BS的距離等于，
所以點(diǎn)T在平行于直線BS且與直線BS的距離等于的直線上。

則直線：或，
聯(lián)立，，△<0，無解；
，△=44>0，有兩個(gè)解；
所以T有兩個(gè)。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點(diǎn)(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知A為橢圓C的左頂點(diǎn)，直線l過右焦點(diǎn)F與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若AM、AN的斜率k1，k2滿足k1+k2=m（定值m≠0），求直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線經(jīng)過橢圓 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)和橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線，與直線分別交于兩點(diǎn)。

   （I）求橢圓的方程；

   （Ⅱ）求線段MN的長(zhǎng)度的最小值；

   （Ⅲ）當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓上是否存在這

樣的點(diǎn)，使得的面積為？若存在，確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年廣東省高三上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）

已知直線經(jīng)過橢圓S：的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)．

（1）求橢圓S的方程；

（2）如圖，M，N分別是橢圓S的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過P作軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k．

①若直線PA平分線段MN，求k的值；

②對(duì)任意，求證：．

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(本小題滿分14分)已知直線經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓C的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P是橢圓C上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AP，BP與直線分別交于M，N兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)求線段MN的長(zhǎng)度的最小值；

(3)當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，Q點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，記△BPQ的面積為S，當(dāng)S在上變化時(shí)，討論S的大小與Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系.

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