Question

已知橢圓C的方程為+=1(a＞b＞0),雙曲線-=1的兩條漸近線為l₁、l₂,過橢圓C的右焦點F作直線l,使l⊥l₁,又l與l₂交于P點,設l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B.(如圖)

(1)當l₁與l₂夾角為60°,雙曲線的焦距為4時,求橢圓C的方程;

(2)當=λ時,求λ的最大值.

Answer 1

剖析：(1)求橢圓方程即求a、b的值,由l₁與l₂的夾角為60°易得=,由雙曲線的距離為4易得a²+b²=4,進而可求得a、b.

    (2)由=λ,欲求λ的最大值,需求A、P的坐標,而P是l與l₁的交點,故需求l的方程.將l與l₂的方程聯(lián)立可求得P的坐標,進而可求得點A的坐標.將A的坐標代入橢圓方程可求得λ的最大值.

解：(1)∵雙曲線的漸近線為y=±x,兩漸近線夾角為60°,

    又＜1,

    ∴∠POx=30°,即=tan30°=.

    ∴a=b.

    又a²+b²=4,

    ∴a²=3,b²=1.

    故橢圓C的方程為+y²=1.

    (2)由已知l:y=(x-c),與y=x解得P(,),

    由=λ得A(,).

    將A點坐標代入橢圓方程得

    (c²+λa²)²+λ²a⁴=(1+λ)²a²c².

    ∴(e²+λ)²+λ²=e²(1+λ)².

    ∴λ²==-［(2-e²)+］+3≤3-2.

    ∴λ的最大值為-1.