Question

已知函數(shù)f（x）=sin2xcosφ+2cos²x•sinφ-sinφ（0＜φ＜π）在處取得最值．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及φ的值；
（Ⅱ）若數(shù)列是首項與公差均為的等差數(shù)列，求f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₂₀₁₁）的值．

Answer 1

（本題滿分為13分）．
解：（Ⅰ）f（x）=sin2xcosφ+（2cos²x-1）•sinφ
=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin（2x+φ），（3分）
由已知得π+φ=kπ+，k∈Z，又0＜φ＜π，
∴φ=，（5分）
∴f（x）=sin（2x+）=cos2x，
∴ω=2，
則T==π．（7分）

（Ⅱ）由已知得x_n=，（8分）
∴f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）=0，（10分）
又∵y=cos的周期為4，
∴f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₂₀₁₀）+f（x₂₀₁₁）
=f（x₂₀₀₉）+f（x₂₀₁₀）+f（x₂₀₁₁）
=f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）
=cos
=-1．（13分）
分析：（Ⅰ）把函數(shù)解析式的后兩項提取sinφ后，利用二倍角的余弦函數(shù)公式變形，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)題意及正弦函數(shù)單調(diào)性得到這個角等于kπ+，求出φ的值，然后找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；
（Ⅱ）由數(shù)列是首項與公差均為的等差數(shù)列，寫出此等差數(shù)列的通項公式，根據(jù)通項公式得到f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）=0，又y=cos的周期為4，由2011除以4，余數(shù)為3，從而得到所求的式子等于f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的值，分別令n=1，2，3求出f（x₁），f（x₂）及f（x₃）的值，即可得到所求式子的值．
點評：本題主要考查兩角和與差的正、余弦公式、誘導公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，利用了數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)了學生運算求解的能力，利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)是本題第一問的突破點；靈活函數(shù)的周期性是解本題第二問的關(guān)鍵．