Question

【題目】已知一定點(diǎn)，及一定直線：，以動點(diǎn)為圓心的圓過點(diǎn)，且與直線相切．

(Ⅰ)求動點(diǎn)的軌跡的方程；

(Ⅱ)設(shè)在直線上，直線，分別與曲線相切于，，為線段的中點(diǎn)．求證：，且直線恒過定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）動點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）見解析.

【解析】

分析：（1）利用直接法，即可求動點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）依題意可設(shè)，，，∴切線：，同理可得切線PB，故可得到，從而整理可得答案.

詳解：(1) ∵圓過點(diǎn)，且與直線相切，

∴點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，

∴點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以直線：為準(zhǔn)線的一拋物線，

∴即，

∴動點(diǎn)的軌跡的方程為.

(2)依題意可設(shè)，，，

又，∴，∴，

∴切線的斜率，

∴切線：，即，

同理可得：切線的斜率，：，

又，∴且，

故方程即有兩根，，∴，

∴，∴，

又為線段的中點(diǎn)，∴，

又由得：，

即，同理可得：，

故直線的方程為，故直線恒過定點(diǎn)．