Question

如圖，E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點，且有AE∶EB=AH∶HD=m, CF∶FB=CG∶GD=n.

(1)證明E、F、G、H四點共面；

(2)m、n滿足什么條件時，四邊形EFGH是平行四邊形？

(3)在(2)的條件下，若AC⊥BD，試證明EG=FH.

Answer 1

（1）證明:∵AE∶EB=AH∶HD，

∴EH∥BD.

∵CF∶FB=CG∶GD，

∴FG∥BD.∴EH∥FG.

∴E、F、G、H四點共面.

（2）解析:

當(dāng)且僅當(dāng)EHFG時，四邊形EFGH為平行四邊形.

∵,

∴EH=BD.

同理,FG=BD.由EH=FG,得m=n.

故當(dāng)m=n時，四邊形EFGH為平行四邊形.

（3）證明:當(dāng)m=n時，AE∶EB=CF∶FB,

∴EF∥AC.

又∵AC⊥BD，

∴∠FEH是AC與BD所成的角.

∴∠FEH=90°，從而四邊形EFGH為矩形.

∴EG=FH.

小結(jié):空間四邊形是立體幾何的一個基本圖形，它各邊中點連線構(gòu)成平行四邊形；當(dāng)兩對角線相等時該平行四邊形為菱形；當(dāng)兩對角線互相垂直時，該平行四邊形為矩形；當(dāng)兩對角線相等且互相垂直時,該平行四邊形為正方形.