Question

已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為N、M，若動點(diǎn)滿足

（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）直線,設(shè)傾斜角為的直線過點(diǎn)，交軌跡于兩點(diǎn) ，交直線于點(diǎn).若，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）|AR|·|BR|的最小值為.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)設(shè),則，，………2分

所以                           ………4分

                                                ………6分

(Ⅱ)設(shè)直線l₂的方程為，與拋物線方程聯(lián)立消去y得x²-4kx-4=0．

記P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則.          ………8分

因為直線PA的斜率k≠O，易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為 .       ………9分

|AR|·|BR|=|x₁-x_R|·|x₂-x_R|

=(1+k²)·(x₁+)(x₂+)=(1+k²) x₁ x₂+(+2 k)( x₁+x₂)+ +4

= -4(1+k²)+4k(+2k)+ +4=4(k²+)+8，       ………………………13分

又α∈（0，],k∈（0，],在（0，]遞減

從而|AR|·|BR|的最小值為.          ………15分

考點(diǎn)：拋物線，直線與拋物線

點(diǎn)評：本試題主要是考查了拋物線方程的求解，以及直線與拋物線的位置關(guān)系的運(yùn)用，對于坐標(biāo)的表示和運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題。