Question

如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，PA＝AD＝a．

(Ⅰ)求證：MN∥平面PAD；

(Ⅱ)求證：平面PMC⊥平面PCD；

(Ⅲ)若二面角P－MC－A是的二面角，求四棱錐P－ABCD的體積．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：設(shè)PD的中點(diǎn)為E，連AE、NE， 　　由N為PC的中點(diǎn)知ENDC， 　　又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB， 　　又M是AB的中點(diǎn)，∴ENAN，∴AMNE是． 　　∴MN∥AE， 　　而AE平面PAD，∴MN∥平面PAD， 　　(2)證明：∵PA＝AD，∴AE⊥PD， 　　又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD， 　　∴CD⊥AE，∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD， 　　∵M(jìn)N∥AE，∴MN⊥平面PCD， 　　又MN平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD． 　　(3)解：過A作AH⊥CM，交CM的延長(zhǎng)線于H，連PH． 　　∵PA⊥平面ABCD，AH⊥CH，∴PH⊥CH， 　　∴∠PHA是二面角P－MC－A的平面角， 　　∴AH＝ 　　又∵Rt△MHA∽R(shí)t△MBC， 　　 　　∴ 　　∴AB＝2AM＝ 　　∴