Question

9．已知$\overrightarrow{a}$=（-$\sqrt{3}$，$\frac{5}{3}$），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{3}$）．
（1）求$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角是多少；
（2）求$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$的夾角為鈍角，求λ的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用向量坐標(biāo)運(yùn)算、向量夾角公式即可得出；
（2）$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$的夾角為鈍角，可得（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$）＜0，且（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$）≠-1．利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$=$（\sqrt{3}，1）$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=$（-2\sqrt{3}，2）$．
∴|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{（-2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=4．
（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=$\sqrt{3}×（-2\sqrt{3}）$+2=-4．
∴cos＜$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow||\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{-4}{2×4}$=-$\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角是$\frac{2π}{3}$．
（2）$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$=$（-\sqrt{3}-λ\sqrt{3}，\frac{5}{3}+\frac{1}{3}λ）$．
∵$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$的夾角為鈍角，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$）＜0，且（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$）≠-1．
∴$\sqrt{3}$$（-\sqrt{3}-λ\sqrt{3}）$+$（\frac{5}{3}+\frac{1}{3}λ）$＜0，解得：$λ＞-\frac{1}{2}$．
由$\sqrt{3}$$（\frac{5}{3}+\frac{1}{3}λ）$-$（-\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）$=0，解得：λ=-2．
綜上可得：λ的取值范圍是$（-\frac{1}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．