Question

已知函數(shù)

若函數(shù)在和上是增函數(shù)，在是減函數(shù)，求的值；

討論函數(shù)的單調遞減區(qū)間；

如果存在，使函數(shù)，，在處取得最小值，試求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

;當時，單調減區(qū)間為當時，單調減區(qū)間為;

.

【解析】

試題分析：通過求導以及極值點的導數(shù)計算的值為1；通過導數(shù)與函數(shù)的單調性關系討論函數(shù)的單調減區(qū)間；先寫出函數(shù)表達式，是一個三次多項式.由，在處取得最小值知在區(qū)間上恒成立，從而得 再討論與時利用二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題解得.

試題解析：（Ⅰ）                                      1分

函數(shù)在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

∴為的兩個極值點，∴即           3分

解得：                                                        4分

（Ⅱ），的定義域為，

              5分

當時，由解得，的單調減區(qū)間為         7分

當時，由解得，的單調減區(qū)間為  9分

（Ⅲ），據題意知在區(qū)間上恒成立，即①                          10分

當時，不等式①成立；

當時，不等式①可化為②           11分

令，由于二次函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，故它在閉區(qū)間上的最小值必在端點處取得，又，所以不等式②恒成立的充要條件是，即                         12分

即，因為這個關于的不等式在區(qū)間上有解，所以

                  13分

又，故，                   14分

考點：1.函數(shù)的求導；2.利用導數(shù)求函數(shù)單調性；3.利用二次函數(shù)圖象解一元二次不等式的恒成立問題.