Question

如圖，已知點F為拋物線C₁：y²=4x的焦點，過點F任作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，分別交拋物線C₁于A，C，B，D四點，E，G分別為AC，BD的中點．
（Ⅰ）直線EG是否過定點？若過，求出該定點；若不過，說明理由；
（Ⅱ）設直線EG交拋物線C₁于M，N兩點，試求|MN|的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）直線EG過定點（3，0），設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），直線AC的方程為x=my+1，代入拋物線C₁的方程，得y²-4my-4=0，由此能求出直線過定點H（3，0）；
（Ⅱ）直線EG的方程為x=ty+3，代入拋物線方程，利用兩點間的距離公式，即可求得結論．

解答： 解：（Ⅰ）直線EG過定點（3，0），設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
直線AC的方程為x=my+1，代入拋物線C₁的方程，得y²-4my-4=0，
則x₁+x₂=4m，x₁x₂=4m²+2，
∴AC的中點坐標為E（2m²+1，2m），
由AC⊥BD，得BD的中點坐標為G（

2

m2

+1，-

2

m

），
令2m²+1=

2

m2

+1，得m²=1，此時2m²+1=

2

m2

+1=3，
故直線過點H（3，0），
當m²≠1時，k_HE=

m

m2-1

，
同理k_HG=

m

m2-1

，
∴k_HE=k_HG，
∴E，H，G三點共線，
故直線過定點H（3，0）；
（Ⅱ）設M（

yM2

4

，y_M），N（

yN2

4

，y_N），直線EG的方程為x=ty+3，代入拋物線方程可得y²-4ty-12=0，
∴y_M+y_N=4t，y_My_N=-12，
∴|MN|²=（

yM2

4

-

yN2

4

）²+（y_M-y_N）²=16（t²+3）（t²+1）≥48，
∴|MN|≥4

3

，
當t=0，即直線EG垂直于x軸時，|MN|取得最小值4

3

．

點評：本題考查直線方程的求法，考查直線是否過定點坐標的判斷與求法，考查直線與拋物線的位置關系，解題時要認真審題，注意中點坐標公式的合理運用．