Question

【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知圓方程為，過(guò)圓上任意一點(diǎn)作圓的切線，切線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)為的中點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意，解方程組即可得解；

（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，易得；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y＝kx+m，點(diǎn)，點(diǎn)，聯(lián)立方程得， ，由切線的性質(zhì)得m2＝2（1+k2），得到關(guān)于k的表達(dá)式，當(dāng)時(shí)，，利用基本不等式即可得解.

（1）橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為，

，解得，

橢圓的方程為.

（2）由題得圓的圓心為，半徑為，

當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切點(diǎn)即為，此時(shí)；

當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

聯(lián)立方程，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，

∴，，

∴∴Q（，），

∵直線AB 與圓O相切，∴，即m2＝2（1+k2），

∴，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，.

綜上，的取值范圍為.