Question

【題目】已知點(diǎn)為拋物線(xiàn)內(nèi)一定點(diǎn)，過(guò)作兩條直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，且分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)．

（1）當(dāng)時(shí)，求△的面積的最小值；

（2）若且，證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析

【解析】

設(shè)出所在的直線(xiàn)方程，代入拋物線(xiàn)方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，得出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線(xiàn)的方程，代入拋物線(xiàn)方程，同理得出點(diǎn)坐標(biāo). （1）利用面積公式求得面積的表達(dá)式，并利用基本不等式求得面積的最小值.（2）先求得直線(xiàn)的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線(xiàn)所在直線(xiàn)方程，利用的表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，由此求得定點(diǎn).

所在直線(xiàn)的方程為，代入中，得，設(shè)，則有，從而．則．設(shè)所在直線(xiàn)的方程為，同理可得．

（1），． 又，故，于是△的面積 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以，△的面積的最小值為.

（2），所在直線(xiàn)的方程為，

即．又，即，代入上式，得，即 ．∵，∴是此方程的一組解，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．