Question

函數(shù)f（x）=asinx+cosx在[

π

6

，

π

4

]上單調(diào)遞增，則a的范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：先看a=0時(shí)，已知條件不成立，再看a≠0時(shí)，利用輔角公式對函數(shù)解析式化簡，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求得φ的范圍，則a的范圍可求．

解答： 解：①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=cosx在[

π

6

，

π

4

]上單調(diào)遞減，結(jié)論不成立，
②當(dāng)a≠0時(shí)，
f（x）=asinx+cosx=

a2+1

•sin（x+φ），其中tanφ=

1

a

，
要使函數(shù)單調(diào)增需-

π

2

≤x+φ≤

π

2

，
-

π

2

-φ≤x≤

π

2

-φ，
∵函數(shù)f（x）在[

π

6

，

π

4

]上單調(diào)遞增，
∴

π

2

-φ≥

π

4

，
-

π

2

-φ≤

π

6

，
求得-

2π

3

≤φ≤

π

4

，
∴tanφ≤1，或tanφ≥

3

，
即

1

a

≤1，或

1

a

≥

3

，
∴a≥1或a＜0，或0＜a≤

3

3

，
故a的范圍為（-∞，0）∪（0，

3

3

]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的單調(diào)性，輔角公式的運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是求得φ的范圍．