Question

【題目】已知一列非零向量滿足：，，其中是正數(shù)

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求證：當(dāng)時(shí)，向量與的夾角為定值；

（3）當(dāng)時(shí)，把中所有與共線的向量按原來(lái)的順序排成一列，記為，令，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求點(diǎn)列的極限點(diǎn)的坐標(biāo).（注：若點(diǎn)坐標(biāo)為，且，則稱點(diǎn)為點(diǎn)列的極限點(diǎn)）

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值；見(jiàn)解析�。�3）

【解析】

（1）根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式得到,由已知可得,進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式；

（2）利用數(shù)量積求解夾角即可證明；

（3）由（2）可知,即每隔3個(gè)向量的兩個(gè)向量共線,且方向相反,則,所以,整理可得,將的坐標(biāo)代回分別求解,,進(jìn)而求得極限即可

（1）由題,為正數(shù),

所以,

因?yàn)?/span>,

則是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,

所以

（2）證明：因?yàn)楫?dāng)時(shí),,

所以,

,

則夾角為是定值

（3）由（2）可知,

所以每隔3個(gè)向量的兩個(gè)向量共線,且方向相反,

所以與向量共線的向量為：,

記的單位向量為,則,

則,

所以當(dāng)時(shí),

設(shè),

則,

,

則,,

所以點(diǎn)列的極限點(diǎn)的坐標(biāo)為