Question

16．已知橢圓Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過點P$（{1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，且離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，左焦點為F，左、右頂點分別為A、B，過F的直線l與橢圓Γ相交于C、D兩點．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）記△ABC，△ABD的面積分別為S₁，S₂，求S₁-S₂的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由點P$（{1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$在橢圓上，且離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，結合隱含條件列式求得a，b，則橢圓方程可求；
（2）當l的斜率不存在時，求出C，D的坐標，此時S₁-S₂=0；當l的斜率存在時，設l：y=k（x+$\sqrt{3}$）（k≠0），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關系把|S₁-S₂|轉化為含有k的函數(shù)，利用基本不等式求最值，最后可得S₁-S₂的取值范圍．

解答 解：（1）由已知得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1$，①
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，即$\frac{^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，②
聯(lián)立①、②解出a²=4，b²=1，
∴橢圓的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；  
（2）當l的斜率不存在時，C（$-\sqrt{3}，-\frac{1}{2}$），D（$-\sqrt{3}，\frac{1}{2}$），此時S₁-S₂=0；
當l的斜率存在時，設l：y=k（x+$\sqrt{3}$）（k≠0），
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+\sqrt{3}）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消y得$（4{k}^{2}+1）{x}^{2}+8\sqrt{3}{k}^{2}x+（12{k}^{2}-4）=0$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．
∴|S₁-S₂|=2||y₁|-|y₂||=2|y₁+y₂|=2|k（x₁+x₂）+$2\sqrt{3}k$|=$\frac{4\sqrt{3}|k|}{4{k}^{2}+1}$，由于k≠0，
∴|S₁-S₂|=$\frac{4\sqrt{3}}{4|k|+\frac{1}{|k|}}$≤$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{4|k|•\frac{1}{|k|}}}=\sqrt{3}$，當且僅當4|k|=$\frac{1}{|k|}$時，即k=$±\frac{1}{2}$時，
|S₁-S₂|=$\sqrt{3}$，
∴S₁-S₂∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．