Question

15．已知函數(shù)f（x）=4-x²
（1）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）用定義證明函數(shù)f（x）在[0，+∞）是減函數(shù)；
（3）求f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）試利用奇偶函數(shù)的定義斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）按照單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）在[0，+∞）是減函數(shù)；
（3）f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞增，[0，2]上單調(diào)遞減，即可求f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）f（-x）=4-（-x）²=4-x²，∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）設0≤x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（4-x₁²）-（4-x₂²）=（x₂-x₁）（x₂+x₁），
∵0≤x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₂+x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函數(shù)f（x）在[0，+∞）是減函數(shù)；
（3）f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞增，[0，2]上單調(diào)遞減，
∴f（x）在[-1，2]上的最大值為f（0）=4，最小值f（2）=0．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的判斷與證明，考查函數(shù)的最大值和最小值，正確理解定義是關鍵．