Question

10．已知函數f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+cos²x（x∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期、最大值及取得最大值時x的集合、對稱軸、對稱中心和單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{6}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用正弦函數的圖象和性質，求得函數f（x）的最小正周期、最大值及取得最大值時x的集合、對稱軸、對稱中心和單調遞增區(qū)間．
（Ⅱ）由條件利用正弦函數的定義域和值域，求函數f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{6}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵函數f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
故函數的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π；
函數的最大值為1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，此時，2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故函數取得最大值時x的集合為{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}；
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，故函數的圖象的對稱軸方程為 x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，即x=$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{12}$，k∈Z，故函數的圖象的對稱中心為 （$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，0），k∈Z；
令 2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函數的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（Ⅱ）∵x∈[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{6}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，故當2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$時，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$取得最小值為0，
當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$取得最大值為1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的周期性、單調性、最值，正弦函數的圖象的對稱性，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．