Question

5．已知動點A（x，y）到點（8，0）的距離定于A到點（2，0）的距離的2倍．
（1）求動點A的軌跡C的方程；
（2）若直線y=kx-5與軌跡C沒有公共點，求k的取值范圍；
（3）求直線x+y-4=0被軌跡C截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）利用動點A（x，y）到點（8，0）的距離定于A到點（2，0）的距離的2倍，建立方程，化簡，可得動點A的軌跡C的方程；
（2）直線y=kx-5與x²+y²=16聯立，直線y=kx-5與軌跡C沒有公共點，△=100k²-36（1+k²）＜0，即可求k的取值范圍；
（3）求出圓心（0，0）到直線x+y-4=0的距離，即可求直線x+y-4=0被軌跡C截得的弦長．

解答 解：（1）∵動點A（x，y）到點（8，0）的距離定于A到點（2，0）的距離的2倍，
∴$\sqrt{（x-8）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，
∴x²+y²=16；
（2）直線y=kx-5與x²+y²=16聯立，可得（1+k²）x²-10kx+9=0，
∵直線y=kx-5與軌跡C沒有公共點，
∴△=100k²-36（1+k²）＜0，
∴-$\frac{3}{4}$＜k＜$\frac{3}{4}$；
（3）圓心（0，0）到直線x+y-4=0的距離為2$\sqrt{2}$，
∴直線x+y-4=0被軌跡C截得的弦長為2$\sqrt{16-8}$=4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，確定軌跡方程是關鍵．