Question

在雙曲線(xiàn)C：中，過(guò)焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離為1。
（1）求該雙曲線(xiàn)的方程；
（2）若直線(xiàn)L：y=kx+m（m≠0，k≠0）與雙曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)（A、B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)雙曲線(xiàn)C的右頂點(diǎn)。求證：直線(xiàn)L過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）由題意，得，
解得：a=，b=1，
∴所求雙曲線(xiàn)方程為。
（2）
聯(lián)立，
得，
，
化簡(jiǎn)，得，
∴，
∵以AB為直徑的圓過(guò)雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)M（，0），
∴，
即，
又，
即，
整理，得，
，
當(dāng)時(shí)，L的方程為，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（，0)，與已知矛盾；
當(dāng)時(shí)，L的方程為，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（2，0）； 
∴直線(xiàn)L過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）。