Question

【題目】已知圓恰好經(jīng)過橢圓的兩個焦點和兩個頂點.

（1）求橢圓的方程；

（2）經(jīng)過原點的直線 (不與坐標(biāo)軸重合)交橢圓于兩點， 軸，垂足為，連接并延長交橢圓于，證明：以線段為直徑的圓經(jīng)過點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由恰好經(jīng)過橢圓的兩個焦點和兩個頂點可得， 從而可得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的斜率為，可得線的斜率為， 的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得的坐標(biāo)，可得直線的斜率為，即得，以線段為直徑的圓一定經(jīng)過點.

試題解析：（1）由題意可知， ， ，

所以橢圓的方程為.

（2）證明：設(shè)直線的斜率為， ，在直線的方程為，

.

直線的斜率為，所以直線的方程為，

聯(lián)立得，

記橫坐標(biāo)分別為.由韋達(dá)定理知: ,

所以，于是，

所以直線的斜率為，

因為.所以，

所以以線段為直徑的圓一定經(jīng)過點.

【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及曲線過定點問題，屬于難題.解決曲線過定點問題一般有兩種方法：① 探索曲線過定點時，可設(shè)出曲線方程 ，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于曲線系的思想找出定點，或者利用方程恒成立列方程組求出定點坐標(biāo).② 從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關(guān).