Question

6．設(shè)函數(shù)f（x），若對(duì)于在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x滿足f（-x）=-f（x），則稱函數(shù)f（x）為“局部奇函數(shù)”．若函數(shù)f（x）=4^x-m•2^x+m²-3是定義在R上的“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． [1-$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$）
• B． [-1，2）
• C． [-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]
• D． [-2$\sqrt{2}$，1-$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 根據(jù)“局部奇函數(shù)”，可知函數(shù)f（-x）=-f（x）有解即可，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用換元法進(jìn)行求解．

解答 解：根據(jù)“局部奇函數(shù)”的定義可知，函數(shù)f（-x）=-f（x）有解即可，
即f（-x）=4^-x-m•2^-x+m²-3=-（4^x-m2^x+m²-3），
∴4^x+4^-x-m（2^x+2^-x）+2m²-6=0，
即（2^x+2^-x）²-m?（2^x+2^-x）+2m²-8=0有解即可．
設(shè)t=2^x+2^-x，則t=2^x+2^-x≥2，
∴方程等價(jià)為t²-m?t+2m²-8=0在t≥2時(shí)有解，
設(shè)g（t）=t²-m?t+2m²-8，
對(duì)稱軸x=$\frac{m}{2}$，
①若m≥4，則△=m²-4（2m²-8）≥0，
即7m²≤32，此時(shí)m不存在；
②若m＜4，要使t²-m?t+2m²-8=0在t≥2時(shí)有解，
則$\left\{\begin{array}{l}{m＜4}\\{{m}^{2}-m-2≤0}\\{△≥0}\end{array}\right.$，解得-1≤m＜2，
綜上：-1≤m＜2，
故選B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的新定義，利用函數(shù)的新定義得到方程有解的條件，利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解的問題去解決是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．