Question

已知頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合,與在第一和第四象限的交點(diǎn)分別為.
(1)若是邊長(zhǎng)為的正三角形，求拋物線的方程；
(2)若，求橢圓的離心率.

Answer 1

（1）拋物線的方程為；（2）橢圓的離心率.

解析試題分析：（1）先根據(jù)拋物線及橢圓的幾何性質(zhì)得到點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，進(jìn)而由求得點(diǎn)的坐標(biāo)，接著代入拋物線的方程可求得的值，從而可確定拋物線的方程；（2）先根據(jù)確定的橫坐標(biāo)為，進(jìn)而代入橢圓的方程可確定點(diǎn)的坐標(biāo)，再將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線，從中可得關(guān)系式，另一方面，從而得到，即，只須求解關(guān)于的方程即可得到內(nèi)的解.
試題解析：（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，依題意得拋物線的方程為
∵是邊長(zhǎng)為的正三角形，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是
代入拋物線的方程解得，故所求拋物線的方程為
（2）∵，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)是代入橢圓方程解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)是
∵點(diǎn)在拋物線上，∴即
將代入上式整理得：
即，解得
∵，故所求橢圓的離心率.
考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).