Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求曲線在處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若關(guān)于x的不等式恒成立，且k的最小值是m，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時，在為增函數(shù)，無減區(qū)間；

當(dāng)時，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)；（3）見解析.

【解析】

（1）求出后可得曲線在處的切線方程.

（2）就、時分別討論函數(shù)的符號后可得的單調(diào)性.

（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論可得，其中滿足，消去得到，再利用導(dǎo)數(shù)可得為增函數(shù)且存在唯一零點，故此不等式的解為，由此可得，利用分析法結(jié)合的范圍可證.

（1）當(dāng)時，，，

，所以曲線在處的切線方程為,

而，故切線方程為.

（2），

當(dāng)時，，故在為增函數(shù)，無減區(qū)間.

當(dāng)時，令，解得或（舍）

當(dāng)時，，故在為增函數(shù)；

當(dāng)時，，故在為減函數(shù)；

綜上，當(dāng)時，在為增函數(shù)，無減區(qū)間；

當(dāng)時，在為增函數(shù)，在為減函數(shù).

（3）由（2）可知，當(dāng)，在為增函數(shù)，

因為，與題設(shè)矛盾，舍.

當(dāng)時，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

所以，因為不等式恒成立，故.

令，則.

消去，則有即，

令，，則，故為上的增函數(shù).

又，，

因為，故，故.

所以在上有且只有一個零點，設(shè)為的零點，

故不等式的解為且.

又，因為函數(shù)在為減函數(shù)，

故當(dāng)時，即，也就是.

要證，即證，

即證，也就是證明，

即證.

因為，而，

故成立，所以成立.