Question

（本小題滿分13分）已知函數(shù)

（I）若函數(shù)在時取到極值，求實數(shù)的值；

（II）試討論函數(shù)的單調性；

（III）當時，在曲線上是否存在這樣的兩點A，B，使得在點A、B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點，若存在，試求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（I）實數(shù)的值－2  

（II）①當時， ，

函數(shù)得單調增區(qū)間為 ，單調減區(qū)間為；

②當時，，

函數(shù)得單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為。 

（III）當時，存在滿足要求的點A、B.

【解析】  （ ）                ……………………………1分

（I）∵函數(shù)在時取到極值

∴ 解得

經檢驗函數(shù)在時取到極小值（不檢驗扣1分）

∴實數(shù)的值－2                          …………………………3分

（II）由得或            …………………………4分

①當時， 

由得

由得

∴函數(shù)得單調增區(qū)間為 ，單調減區(qū)間為 …………6分

②當時，，同理可得函數(shù)得單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為                                    ………………………………8分

（II）假設存在滿足要求的兩點A，B，即在點A、B處的切線都與y軸垂直，則即解得或         

∴A,B

又線段AB與x軸有公共點，∴，       …………………………10分

即 又，解得

所以當時，存在滿足要求的點A、B.     …………………………13分