Question

17．定義函數(shù)f（x）=2|x+5|-|x+1|，數(shù)列a₁，a₂，a₃…滿足a_n+1=f（a_n），n∈N^*．若要使a₁，a₂，…a_n，…成等差數(shù)列．則a₁的取值范圍為（　　）

• A． a₁≥-5
• B． a₁≥-1
• C． a₁≥-1或a₁≤-5
• D． 以上都不對

Answer 1

分析 由絕對值的意義可得f（x）的分段函數(shù)式，求得對任意n∈N^*，a_n+1-a_n≥1．{a_n}為等差數(shù)列，所以存在正數(shù)M，當(dāng)n＞M時(shí)，a_n≥-1，再對a₁討論，①當(dāng)a₁＜-5時(shí)，②若-5≤a₁＜-1，③若a₁≥-1，結(jié)合函數(shù)式和等差數(shù)列的通項(xiàng)，即可得到結(jié)論．

解答 解：由已知可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+9，x≥-1}\\{3x+11，-5≤x＜-1}\\{-x-9，x＜-5}\end{array}\right.$，
當(dāng)a_n≥-1時(shí)，a_n+1-a_n=9＞8；
當(dāng)-5≤a_n＜-1時(shí)，a_n+1-a_n=2a_n+11≥2×（-5）+11=1；
當(dāng)a_n＜-5時(shí)，a_n+1-a_n=-2a_n-9＞-2×（-5）-9=1．
∴對任意n∈N^*，a_n+1-a_n≥1．
即a_n+1≥a_n，即{a_n}為無窮遞增數(shù)列．
又{a_n}為等差數(shù)列，所以存在正數(shù)M，當(dāng)n＞M時(shí)，a_n≥-1，
從而a_n+1=f（a_n）=a_n+9，由于{a_n}為等差數(shù)列，
因此公差d=9．
①當(dāng)a₁＜-5時(shí)，則a₂=f（a₁）=-a₁-9，
又a₂=a₁+d=a₁+9，故-a₁-9=a₁+9，即a₁=-9，從而a₂=0，
當(dāng)n≥2時(shí)，由于{a_n}為遞增數(shù)列，故a_n≥a₂=0＞-1，
∴a_n+1=f（a_n）=a_n+c+8，而a₂=a₁+c+8，故當(dāng)a₁=-9時(shí)，{a_n}為無窮等差數(shù)列，符合要求；
②若-5≤a₁＜-1，則a₂=f（a₁）=3a₁+11，又a₂=a₁+d=a₁+9，
∴3a₁+11=a₁+9，得a₁=-1，應(yīng)舍去；
③若a₁≥-1，則由a_n≥a₁得到a_n+1=f（a_n）=a_n+9，從而{a_n}為無窮等差數(shù)列，符合要求．
綜上可知：a₁的取值范圍為{-9}∪[-1，+∞）．
故選D．

點(diǎn)評 本題綜合考查了分類討論的思想方法、如何去絕對值符號、遞增數(shù)列、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識與方法，考查了推理能力和計(jì)算能力．