Question

13．如圖，高為3的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是直角三角形，AC=2，D為A₁C₁的中點(diǎn)，F(xiàn)在線(xiàn)段AA₁上，CF⊥DB₁，且A₁F=1．
（1）求證：CF⊥平面B₁DF；
（2）求平面B₁FC與平面AFC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理先證明CF⊥B₁F即即可證明CF⊥平面B₁DF；
（2）根據(jù)二面角的定義先找出二面角的平面角即可求平面B₁FC與平面AFC所成的銳二面角的余弦值．

解答 （1）證明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是直角三角形，D為A₁C₁的中點(diǎn)，
∴DB₁⊥AA₁，
∵CF⊥DB₁，CF∩⊥AA₁=F．
∴DB₁⊥平面AA₁CC₁．
∴DB₁⊥A₁B₁，
則△A₁B₁C₁為等腰直角三角形，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中高為3，AC=2，A₁F=1
∴AB=BC=$\sqrt{2}$，AF=2，F(xiàn)B₁=$\sqrt{3}$，B₁C=$\sqrt{11}$，CF=2$\sqrt{2}$，
滿(mǎn)足B₁F²+CF²=B₁C²，
即CF⊥B₁F，
∵CF⊥DB₁，DB₁∩B₁F=B₁，
∴CF⊥平面B₁DF；
（2）∵CF⊥平面B₁DF，B₁F?平面B₁DF，DF?平面B₁DF，
∴CF⊥B₁F，CF⊥DF，
∵DB₁⊥平面AA₁CC₁．
∴∠B₁FD是平面B₁FC與平面AFC所成的銳二面角的平面角，
則B₁D=1，DF=$\sqrt{2}$，
則cos∠B₁FD=$\frac{DF}{{B}_{1}F}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即平面B₁FC與平面AFC所成的銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間線(xiàn)面垂直的判斷以及二面角的求解，利用線(xiàn)面垂直的判定定理以及二面角的定義是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．