Question

在直角坐標(biāo)系上取兩個(gè)定點(diǎn)，再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且．

（I）求直線(xiàn)與交點(diǎn)的軌跡的方程；

（II）已知，設(shè)直線(xiàn)：與（I）中的軌跡交于、兩點(diǎn)，直線(xiàn)、 的傾斜角分別為且，求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）定點(diǎn)為．

【解析】

試題分析：（I）已知條件是，因此我們可以設(shè)直線(xiàn)與交點(diǎn)的坐標(biāo)為，把與建立起聯(lián)系，利用已知得到交點(diǎn)的軌跡方程，而這個(gè)聯(lián)系就是直線(xiàn)與的方程；（II）要證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，應(yīng)該求出的關(guān)系，而已知的是直線(xiàn)、 的傾斜角且，說(shuō)明它們的斜率之和為0，設(shè)直線(xiàn)與軌跡的交點(diǎn)為，則，，那么，變形得，這里，可由直線(xiàn)與軌跡的方程聯(lián)立，消去得關(guān)于的二次方程，由韋達(dá)定理得到，，代入上式可得到結(jié)論．

試題解析：（I）依題意知直線(xiàn)的方程為：　�、伲�

直線(xiàn)的方程為：　�、冢�

設(shè)是直線(xiàn)與的交點(diǎn)，①×②得，

由　整理得，

∵不與原點(diǎn)為重合，∴點(diǎn)不在軌跡M上，

∴軌跡M的方程為．

（II）由題意知，直線(xiàn)的斜率存在且不為零，

聯(lián)立方程，得，設(shè)、則，且，，

由已知，得，∴，

化簡(jiǎn)得，

代入得，整理得．

∴直線(xiàn)的方程為，因此直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為．

考點(diǎn)：（I）動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法求軌跡方程；（II）直線(xiàn)和橢圓相交問(wèn)題．