Question

橢圓的兩個焦點F1、F2，點P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2,,|PF1|=,

|PF2|=.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線L過圓（x+2）2+（y-1）2=5的圓心M交橢圓于A、B兩點，且A、B關(guān)于點M對稱，求直線L的方程。

 

Answer 1

(1);(2)8x-9y+25=0

【解析】

試題分析：(1)由橢圓的定義可知a=3，在Rt△PF1F2中，由勾股定理得c=,從而b2=4, 所以橢圓C的方程為＝1;(2) 法一：(韋達(dá)定理)設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)+1,代入橢圓C的方程并化簡得

（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.由A，B關(guān)于點M對稱可得，結(jié)合韋達(dá)定理可得，所以直線l的方程為8x-9y+25=0.(經(jīng)檢驗，符合題意)法二：(點差求斜率)因為A、B關(guān)于點M對稱，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,由題意x1x2且A、B的坐標(biāo)滿足橢圓方程，兩式相減得直線l的斜率，因此直線l的方程為8x－9y+25=0.(經(jīng)檢驗，符合題意.)

試題解析：(1)因為點P在橢圓C上，所以，a=3. 在Rt△PF1F2中，

故橢圓的半焦距c=,從而b2=a2－c2=4,

所以橢圓C的方程為＝1.

法一：設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）、（x2,y2）,由圓的方程為（x+2）2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）,從而可設(shè)直線l的方程為 y=k(x+2)+1,

代入橢圓C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.

因為A，B關(guān)于點M對稱. 所以 解得，

所以直線l的方程為 即8x-9y+25=0. (經(jīng)檢驗，符合題意)

法二：已知圓的方程為（x+2）2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）.

設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且

① ②

由①－②得 ③

因為A、B關(guān)于點M對稱，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2, 代入③得＝，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意.)

考點：1.橢圓的定義與方程;2.直線與橢圓的位置關(guān)系