Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和零點；

（2）若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間：；單調(diào)遞增區(qū)間：；零點為：（2）

【解析】

（1）求導根據(jù)導函數(shù)正負得到單調(diào)區(qū)間；令，再結合單調(diào)性可知唯一零點為；（2）將不等式轉化為圖像恒在上方，利用臨界狀態(tài)，即直線與相切的情況，求得相切時；從而可構造出，利用導數(shù)求得，由此可得取值范圍.

（1）

令，解得：

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

令，解得：

所以函數(shù)的零點是

（2）畫出的大致圖像，如圖所示

設，則的圖像恒過點

設函數(shù)的圖像在點處的切線過點

所以，

的圖像在處的切線方程為

將代入切線方程，得

整理得：

設

令，得或

所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

又，，

所以是方程的唯一解

所以過點且與的圖像相切的直線方程為

令，則

當時，；當時，

又，即在上恒成立

即函數(shù)的圖像恒在其切線的上方

數(shù)形結合可知，的取值范圍