Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，其上一點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，△恰為一個(gè)邊長(zhǎng)為4的等邊三角形．

（1）求拋物線的方程；

（2）若過(guò)定點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

（1）求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，可得，由等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到所求拋物線的方程；

（2）設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及三角形的面積公式，解方程可得，進(jìn)而得到所求直線方程．

（1）拋物線的焦點(diǎn)為，，準(zhǔn)線方程為，

設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，可得，

△為一個(gè)邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，可得，，

在直角三角形中，，即，

則拋物線的方程為；

（2）設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線的方程為，

代入拋物線方程，可得，△，

設(shè)，，，，則，，

由

，

解得，

則直線的方程為或．