Question

2．求函數(shù)f（x）=-4x²+4ax-4a-a²在區(qū)間[0，1]上的最值．

Answer 1

分析 對f（x）配方得到$f（x）=-4（x-\frac{a}{2}）^{2}-4a$，可以看出對稱軸為x=$\frac{a}{2}$，需討論對稱軸和區(qū)間[0，1]的關(guān)系：分$\frac{a}{2}≤0，0＜\frac{a}{2}≤\frac{1}{2}，\frac{1}{2}＜\frac{a}{2}＜1，和\frac{a}{2}≥1$四種情況，在每種情況里，根據(jù)二次函數(shù)f（x）在[0，1]上的單調(diào)性，及取得頂點情況和比較端點值，從而可求出每種情況下f（x）的最值．

解答 解：f（x）=-4x²+4ax-4a-a²=$-4（x-\frac{a}{2}）^{2}-4a$；
①若$\frac{a}{2}≤0$，即a≤0，則f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減；
∴f（0）=-4a-a²是f（x）的最大值，f（1）=-4-a²是f（x）的最小值；
②若$0＜\frac{a}{2}≤\frac{1}{2}$，即0＜a≤1，則：f（$\frac{a}{2}$）=-4a是f（x）的最大值，f（1）=-4-a²是最小值；
③若$\frac{1}{2}＜\frac{a}{2}＜1$，即1＜a＜2，則：f（$\frac{a}{2}$）=-4a是f（x）的最大值，f（0）=-4a-a²是最小值；
④若$\frac{a}{2}≥1$，即a≥2，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增；
∴f（0）=-4a-a²是f（x）的最小值，f（1）=-4-a²是f（x）的最大值．

點評 考查函數(shù)最值的概念，二次函數(shù)的對稱軸，二次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及取得頂點情況，及對端點值的比較從而求出二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的方法，要熟悉二次函數(shù)圖象．