Question

在XOY平面上有一點列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…，對每個自然數(shù)n，點P_n位于函數(shù)y=2000（）^x（0＜a＜10）的圖象上，且點P_n、點（n，0）與點（n+1，0）構(gòu)成一個以P_n為頂點的等腰三角形.

（Ⅰ）求點P_n的縱坐標(biāo)b_n的表達(dá)式；

（Ⅱ）若對每個自然數(shù)n，以b_n，b_n＋1，b_n＋2為邊長能構(gòu)成一個三角形，求a的取值范圍；

（Ⅲ）（理）設(shè)B_n＝b₁，b₂…b_n（n∈N）.若a取（Ⅱ）中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求數(shù)列｛B_n｝的最大項的項數(shù).

（文）設(shè)c_n＝lg（b_n）（n∈N）.若a�。�Ⅱ）中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列｛c_n｝前多少項的和最大?試說明理由.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）由題意，an＝n＋，∴bn＝2000（）． （Ⅱ）∵函數(shù)y=2000（）x（0＜a＜10）遞減， ∴對每個自然數(shù)n，有bn＞bn＋1＞bn＋2 則以bn，bn＋1，bn＋2為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是bn＋2＋bn＋1＞bn， 即（）2＋（－1）＞0， 解得a＜－5（1＋）或a＞5（－1）， ∴5（－1）＜a＜10． （Ⅲ）（理）∵5（－1）＜a＜10， ∴a=7，bn＝2000（）． 數(shù)列｛bn｝是一個遞減的正數(shù)數(shù)列.對每個自然數(shù)n≥2，Bn＝bnBn－1． 于是當(dāng)bn≥1時，Bn≥Bn－1，當(dāng)bn＜1時，Bn＜Bn－1， 因此，數(shù)列｛Bn｝的最大項的項數(shù)n滿足不等式bn≥1且bn＋1＜1. 由bn＝2000（）≥1，得n≤20.8，∴n=20. （文）∵5（－1）＜a＜10，∴a=7，bn＝2000（）． 于是cn＝lg［2000（）］＝3＋lg2（n＋）lg0.7 數(shù)列｛cn｝是一個遞減的等差數(shù)列. 因此，當(dāng)且僅當(dāng)cn≥0，且cn＋1＜0時，數(shù)列｛cn｝的前n項的和最大. 由cn＝3＋lg2＋（n＋）lg0．7≥0， 得n≤20.8，∴n=20.