Question

16．如圖，已知Rt△ABC中，AB=AC=$\sqrt{2}$，AD斜邊BC上的高，以AD為折痕，將△ABD折 起，使∠BDC為直角．

（1）求證：平面ABD⊥平面BDC；
（2）求證：∠BAC=60°；
（3）求點A到平面BDC的距離；
（4）求點D到平面ABC的距離．

Answer 1

分析 （1）由原直角三角形中，AD是斜邊BD上的高，得到AD與DB、DC都垂直，利用線面垂直的判定得到AD垂直于面BDC，由線面垂直的性質(zhì)得到要證得結(jié)論；
（2）由原題給出的邊的長度，通過解直角三角形分別求出三角形ABC三邊的長度，然后利用余弦定理求解∠BAC的大�。�
（3）證明AD⊥平面BDC即可判定AD是A到平面BDC的距離；
（4）取BC中點E，連結(jié)AE、DE后證明平面ADE和平面ABC垂直，在面ADE中作出D與平面ABC的垂線，在直角三角形ADE中，由等積法求得點D到平面ABC的距離．

解答 （1）證明：如圖，
∵AD⊥BC，AD⊥DC，BD∩DC=D，
∴AD⊥平面BDC．
又AD?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BDC；
（2）證明：在原Rt△ABC中，AB=AC=$\sqrt{2}$，
∴BC=2，
∴BD=DC=1，又折疊后∠BDC=90°，
∴△BDC為等腰Rt△，
∴BC=$\sqrt{2}$，
∴AB=BC=AC，∴∠BAC=60°；
（3）在△ABC中，易得AD=$\frac{1}{2}$BC=1，
由（1）知AD⊥平面BDC，
即AD是A到平面BDC的距離，
即A到平面BDC的距離是1．
（4）解：取BC的中點E，
∵AB=AC，BD=DC，
∴DE⊥BC，AE⊥BC，
∴BC⊥平面ADE，過D點作DM⊥AE，則DM⊥平面ABC．
在Rt△ADE中，AD=1，DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴斜邊AE上的高DM=$\frac{AD•DE}{AE}=\frac{1×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴D點到平面ABC的距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了平面與平面垂直的判定，考查了點線面間距離的計算，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，解答的關(guān)鍵是對折疊問題折疊前后的變量與不變量的掌握，是中檔題．