Question

【題目】圖1，在中，，，E為中點(diǎn).以為折痕將折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)D的位置，且為直二面角，F是線段上靠近A的三等分點(diǎn)，連結(jié)，，，如圖2.

（1）證明：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）取中點(diǎn)為M，連結(jié)，可得到平面，所以.計(jì)算，，根據(jù)勾股定理得到，故可證平面，從而得到.

（2）過E作，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的法向量和直線的方向向量，代入公式計(jì)算即可.

（1）設(shè)中點(diǎn)為M，連結(jié).

因?yàn)?/span>E是中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>為直二面角，即平面平面，

又因?yàn)槠矫?/span>平面，且平面，

所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以.

在中，，，，

所以，且.

因?yàn)?/span>F是上靠近A的三等分點(diǎn)，所以，.

在中，根據(jù)余弦定理，，

即，.

在中，，

所以，所以.

又因?yàn)?/span>，所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以.

（2）如圖，過E作，則平面.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

則，，，，.

故，，

，，

那么.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為.

則，即，

取，得，，此時(shí).

設(shè)直線與平面所成的角為，

則，

即直線與平面所成的角的正弦值為.