Question

3．在△ABC中，AC=2，D為AC中點(diǎn)，∠A=∠CBD=2∠ABD，則△ABC的面積為$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)∠ABD=θ，θ為銳角，∠A=∠CBD=2θ，∠BDC=3θ．在△ABC中與△BCD中，分別利用正弦定理可得：$\frac{a}{sin3θ}$=$\frac{1}{sin2θ}$，$\sqrt{2}$sin2θ=sin3θ，利用倍角公式化為：$4co{s}^{2}θ-2\sqrt{2}$cosθ-1=0，解得cosθ=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=cos15°，再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：如圖所示，設(shè)∠ABD=θ，θ為銳角則，∠A=∠CBD=2θ，∠BDC=3θ．
在△ABC中，$\frac{a}{sin2θ}=\frac{2}{sin3θ}$，
△BCD中，$\frac{a}{sin3θ}$=$\frac{1}{sin2θ}$，
∴$\sqrt{2}$sin2θ=sin3θ，
∴$\sqrt{2}$×2sinθcosθ=3sinθ-4sin³θ，
化為：$4co{s}^{2}θ-2\sqrt{2}$cosθ-1=0，
解得cosθ=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=cos15°，
∴△ABC中，$a=\frac{2sin3{0}^{°}}{sin4{5}^{°}}$=$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×$sin105°=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、倍角公式、和差公式、三角形面積計(jì)算公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．