Question

已知圓C：（x+1）²+y²=8，定點A（1，0），M為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，點N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若直線y=kx+

k2+1

與（1）中所求點N的軌跡E交于不同兩點F，H，O是坐標原點，且

2

3

≤

OF

•

OH

≤

3

4

，求△FOH的面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于AM=2AP且NP⊥AM即NP為AM的中垂線故聯(lián)想到連接NA即可觀察出NA+NC=CM=2

2

在根據(jù)圓錐曲線的定義可寫出曲線E的方程．
根據(jù)題意，先證明出NP為線段AM的垂直平分線，利用垂直平分線定理得到點N到點A、C的距離和為常數(shù)，從而得出所求軌跡是以A、C為焦點的橢圓，不難求出它的方程；
（2）在（1）的基礎上，將直線y=kx+

k2+1

與橢圓方程聯(lián)解消去y得關于x的方程，再利用根與系數(shù)的關系，得到

x1+x2=- 4k k2+1 2k2+1 x1x2= 2k 2 2k 2+1

，將這個關系代入到數(shù)量積

OF

 •

OH

當中，表示成關于k的式子，再進行化簡，最終得到不等式

2

3

≤

k2+1

2k 2+1

≤

3

4

，解這個不等式可得k²的取值范圍，將△FOH的面積用k表示，從而可求出面積的取值范圍．

解答：解：（1）

AM

=2

.

AP

，，

NP

•

.

AM

=0
所以NP為線段AM的垂直平分線，|NA|=|NM|
|NC|+|NA|=|NC|+|MN|=2

2

＞2=|CA|
所以動點N的軌跡是以C（-1，0），A（1，0）為焦點的橢圓，
且長軸長為2a=2

2

，焦距2c=2，所以a=

2

，c=1，b²=1
曲線E的方程為

x 2

2

+y2=1．
（2）設F（x₁，y₁）H（x₂，y₂），則由

x 2 2 +y2=1 y=kx+ k2+1

，消去y得
（2k²+1）x²+4k

k2+1

x+2k²=0，△=8k²＞0 （k≠0）

∴x1+x2=-

4k k2+1

2k2+1

，x1x2=

2k 2

2k 2+1

OF

•

OH

=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+  

k2+1

)(kx 2+ 

k2+1

)
=（k²+1）x₁x₂+k

k2+1

（x₁+x₂）+k²+1
=

(k 2+1)•2k 2

2k 2+1

-

(k 2+1)•4k 2

2k 2+1

+k2+1=

k 2 +1

2k 2+1

∴

2

3

≤

k2+1

2k 2+1

≤

3

4

⇒

1

2

≤k2≤1
∵|FH|=

(1+k2)[(x1+x2) 2-4x1x2]

=

2 2k2(1+k2)

2k2+1

 又點O到直線EH的距離d=1，
∴S=

2k2(1+k2)

2k2+1

令t=2k2+1，t∈[2，3]，k2=

1

2

(t-1)
∴S=

2

2

1- 1 t2

∵2≤t≤3
∴

1

9

≤

1

t2

≤

1

4

∴

6

4

≤S≤

2

3

點評：本題是直線與圓錐曲線的綜合問題的考查，是綜合題有一定的難度．主要考查了利用圓錐曲線的定義求曲線方程，考查平面向量的數(shù)量積運算，同時考查里哦啊設而不求和轉化化歸思想的運用．