Question

已知f（x）=sin²（2x-

π

4

）-2t•sin（2x-

π

4

）+t²-6t+1（x∈[

π

24

，

π

2

]）其最小值為g（t）．
（1）求g（t）的表達式；
（2）當-

1

2

≤t≤1時，要使關(guān)于t的方程g（t）=kt有一個實根，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用x的范圍確定sin（2x-

π

4

），對函數(shù)解析式化簡整理，對t進行分類討論，利用拋物線的性質(zhì)求得每種情況的g（t）的解析式，最后綜合．
（2）根據(jù)（1）中獲得當-

1

2

≤t≤1時g（t）的解析式，令h（t）=g（t）-kt，要使g（t）=kt有一個實根需h（-

1

2

）和h（1）異號即可．

解答： 解：（1）∵x∈[

π

24

，

π

2

]，
∴sin（2x-

π

4

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）=[sin（2x-

π

4

-t]²-6t+1，
當t＜-

1

2

時，則當sinx=-

1

2

時，f（x）_min=t2-5t+

5

4

；
當-

1

2

≤t≤1時，當sinx=t時，f（x）_min=-6t+1；
當t＞1時，當sinx=1時，f（x）_min=t²-8t+2；
∴g（t）=

t2-5t+ 5 4 ，t∈(-∞，- 1 2 ) -6t+1，t∈[- 1 2 ，1] t2-8t+2，t∈(1，+∞)

（2）當-

1

2

≤t≤1時，g（t）=-6t+1．令h（t）=g（t）-kt．
欲使g（t）=kt有一個實根，則只需使

h(- 1 2 )≤0 h(1)≥0

或

h(- 1 2 )≥0 h(1)≤0

即可．
解得k≤-8或k≥-5．

點評：本題主要考查了拋物線的基本性質(zhì)，分類討論思想，分段函數(shù)等知識．注意運用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想．