Question

某同學(xué)在研究函數(shù)f（x）=x²e^x的性質(zhì)時(shí)，得到如下的結(jié)論：

①f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣2，0）；

②f（x）無最小值，無最大值

③f（x）的圖象與它在（0，0）處切線有兩個(gè)交點(diǎn)

④f（x）的圖象與直線x﹣y+2012=0有兩個(gè)交點(diǎn)

其中正確結(jié)論的序號(hào)是　　．

Answer 1

考點(diǎn)：

利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

專題：

綜合題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．

分析：

①求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＜0，可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；

②令f′（x）＞0，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，即可得到結(jié)論；

③求得函數(shù)在（0，0）處切線方程，結(jié)合f（x）=x²e^x＞0，可得結(jié)論；

④由②及f（x）=x²e^x＞0，即可得到f（x）的圖象與直線x﹣y+2012=0有兩個(gè)交點(diǎn)．

解答：

解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=x²e^x=（2x+x²）e^x，

①令f′（x）＜0，可得2x+x²＜0，∴﹣2＜x＜0，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣2，0），即①正確；

②令f′（x）＞0，可得2x+x²＞0，∴x＜﹣2或x＞0，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，﹣2），（0，+∞），∴函數(shù)在x=﹣2處取得極大值，且為最大值；在x=0處取得極小值，且為最小值，即②不正確；

③f′（0）=0，f（0）=0，則函數(shù)在（0，0）處切線方程為y=0，∵f（x）=x²e^x＞0，∴f（x）的圖象與它在（0，0）處切線有一個(gè)交點(diǎn)（0，0），即③不正確；

④由②及f（x）=x²e^x＞0，即可得到f（x）的圖象與直線x﹣y+2012=0有兩個(gè)交點(diǎn)，即④正確，

綜上可知，正確結(jié)論的序號(hào)是①④

故答案為：①④

點(diǎn)評(píng)：

本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．